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RECHERCHES

20. Changeons présentement les rôles ; supposons que le point lumineux est dans l’air, tandis que l’œil est, au contraire, plongé dans l’eau. Soit toujours (fig. 6) le plan de la figure un plan vertical passant par l’objet et par l’œil, soit $\mathrm {CX}$ l’intersection de ce plan avec la surface de l’eau ; prenons cette droite pour axe des $x.$ Soit $\mathrm {P}$ l’objet ; et prenons pour axe des $y$ la verticale $\mathrm {CY}$ conduite par $\mathrm {P.}$ Soit $\mathrm {PI}$ un rayon incident quelconque et soit $\mathrm {IL}$ le même rayon réfracté. Par le point d’incidence $\mathrm {I}$ soit menée la verticale indéfinie $\mathrm {GH.}$ Soient $\mathrm {CP} =k,\ \mathrm {CI} =zi\,;$ et soit toujours le rapport du sinus d’incidence dans l’air au sinus de réfraction dans l’eau celui de $p$ à $q\,;$ nous aurons

${\frac {Sin.\mathrm {HIP} }{Sin.\mathrm {GIL} }}={\frac {Sin.\mathrm {CPI} }{Sin.\mathrm {GIL} }}={\frac {z}{Sin.\mathrm {GIL} {\sqrt {k^{2}+z^{2}}}}}={\frac {p}{q}},$

d’où

$Sin.\mathrm {GIL} ={\frac {qz}{p{\sqrt {k^{2}+z^{2}}}}}\,;$

donc

$Sin.\mathrm {XIL} ={\frac {\sqrt {p^{2}k^{2}+\left(p^{2}-q^{2}\right)z^{2}}}{p{\sqrt {k^{2}+z^{2}}}}},\qquad Cos.\mathrm {XIL} ={\frac {qz}{p{\sqrt {k^{2}+z^{2}}}}},$

et par suite

$Tang.\mathrm {XIL} ={\frac {\sqrt {p^{2}k^{2}+\left(p^{2}-q^{2}\right)z^{2}}}{qz}}.$

En posant, pour abréger,

${\frac {p^{2}-q^{2}}{p^{2}}}=1-{\frac {q^{2}}{p^{2}}}=m^{2},\qquad {\frac {q}{p}}=n,$

d’où

$m^{2}+n^{2}=1,$

nous aurons