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DE DIOPTRIQUE.

$Tang.\mathrm {XIL} ={\frac {\sqrt {k^{2}+m^{2}z^{2}}}{nz}}.$

En conséquence, l’équation du rayon réfracté ou, pour mieux dire, l’équation générale de tous les rayons réfractés relatifs au point $\mathrm {P}$ sera

$y=-{\frac {\sqrt {k^{2}+m^{2}z^{2}}}{nz}}(x-z)\,;$

équation dans laquelle $z$ est un paramètre tout-à-fait indéterminé.

21. Il faudrait donc, pour en conclure l’équation de la caustique relative au point $\mathrm {P} ,$ éliminer $z$ entre cette équation et sa différentielle, prise uniquement par rapport à $z\,;$ mais cette équation ne différant de sa correspondante (4), relative à la première hypothèse, qu’en ce que $m$ et $n$ s’y trouvent respectivement changés en $m{\sqrt {-1}}$ et $-n\,;$ nous obtiendrons immédiatement la caustique cherchée, en faisant un pareil changement dans l’équation (5) de la caustique qui répond au premier cas, laquelle deviendra ainsi

$\left({\frac {ny}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}-\left({\frac {mx}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=1.$

21. Or, il résulte de ce qui a été dit (6) que l’équation d’une hyperbole étant

$\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}=1,$

l’équation de sa développée doit être

$\left({\frac {by}{b^{2}+a^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}-\left({\frac {ax}{b^{2}+a^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}=1\,;$

donc, notre caustique n’est autre que la développée d’une hyper-