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RECHERCHES

donc aussi, à mesure que $x$ deviendra plus grand, cette équation tendra sans cesse à se réduire à

$y=\pm {\frac {m}{n}}x,$

et le deviendra, en effet, lorsque $x$ deviendra indéfini ; d’où il paraîtrait naturel de conclure que la courbe a deux asymptotes passant par l’origine, et comme l’équation des asymptotes de l’hyperbole est

$y=\pm {\frac {n}{m}}x,$

il s’ensuivrait que les asymptotes de la développée sont respectivement perpendiculaires à celles de la courbe.

24. La vérité est pourtant que la développée de l’hyperbole n’a point d’asymptotes. Pour nous en convaincre, cherchons l’équation de la tangente à cette courbe par l’un de ses points ; en différentiant son équation ; on obtient

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {m}{n}}{\sqrt[{3}]{\frac {ny}{mx}}}\,;$

d’où il suit que l’équation de la tangente à la courbe par un point $(x',y')$ pris sur son périmètre est

$y-y'={\frac {m}{n}}{\sqrt[{3}]{\frac {ny'}{mx'}}}(x-x').$

Si l’on veut connaître à quelle distance de l’origine cette tangente coupe l’axe des $y,$ il suffira de faire $x=0$ dans son équation, ce qui donnera, pour la distance demandée

$y=y'-{\frac {m}{n}}x'{\sqrt[{3}]{\frac {ny'}{mx'}}},$

ou encore