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RECHERCHES

29. Si l’on demande, par exemple, l’image d’une droite verticale donnée par l’équation

$X=g,$

l’équation de cette image sera

$x-{\frac {m^{2}}{n^{2}}}y\left({\frac {x}{y+h}}\right)^{3}=g,$

ou bien

$n^{2}(x-g)(y+h)^{3}-m^{2}x^{4}y=0.$

Soit qu’on fasse, dans cette équation, $y=0$ ou $y=\infty ,$ on a également $x=g,$ ce qui nous annonce que la droite et son image se confondent également soit à la surface de l’eau, soit à une hauteur infinie au-dessus du liquide ; de telle sorte que la droite est elle-même asymptote de son image.

Cherchons sous quel angle l’image dévie de la droite verticale à la surface de l’eau, et quel en est le plus grand écartement. En différentiant cette équation, on en tire

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {n^{2}(y+h)^{3}-3m^{2}x^{2}y}{m^{2}x^{3}-3n^{2}(x-g)(y+h)^{2}}}\,;$

à la surface de l’eau, ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ devient la co-tangente de l’angle que fait la droite avec son image ; mais, en ce point, on a $x=g,\ y=0\,;$ donc, en désignant cet angle par $\theta ,$ on aura