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LINÉAIRES.

${\frac {1}{X_{m}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {X_{m}}{X_{m-1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(\ldots {\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {X_{1}\operatorname {d} ^{n-m}y}{\operatorname {d} x^{n-m}}}\right)\right)\ldots \right)\right)$

$=N+{\frac {1}{Z_{n-m}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {Z_{n-m}}{Z_{n-m-1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(\ldots {\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}(Z_{1}y)\ldots \right)\right)\,;$

et faisant, pour abréger, le second membre $=\operatorname {f} (y),$ on aura l’intégrale générale

${\begin{aligned}y&=a_{n}+a_{n-1}x+a_{n-2}x^{2}+\ldots +a_{m+1}x^{n-m-1}\\\\&+a_{m}\int \limits ^{n-m}{\frac {1}{X_{1}}}\operatorname {d} x^{n-m}+a_{m-1}\int \limits ^{n-m}{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\operatorname {d} x^{n-m+1}+\ldots \\\\&+a_{1}\int \limits ^{n-m}{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int \ldots \int {\frac {X_{m-1}}{X_{m}}}\int X_{m}\operatorname {f} (y)\operatorname {d} x^{n}\,;\end{aligned}}$

$a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\ldots a_{1}$ étant des constantes, de sortes que, si l’on représente par $\omega$ la partie indépendante de $y,$ on aura

$y=\omega +\int \limits ^{n-m}{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int \ldots \int {\frac {X_{m-1}}{X_{m}}}\int X_{m}\operatorname {f} (\omega )\operatorname {d} x^{n}$

$+\int \limits ^{n-m}{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int \ldots \int X_{m}\operatorname {f} \left(\int \limits ^{n-m}{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int \ldots \int X_{m}\operatorname {f} (\omega )\right)\operatorname {d} x^{2n}$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

Comme on peut choisir $m$ à son gré, on peut trouver un grand nombre de formes différentes, par le seul changement de cette quantité ; et l’on trouverait une infinité de formes différentes, en partageant autrement l’équation proposée. Par exemple, si l’on savait la partager en deux du même ordre, dont chacune fût facilement intégrable, on lui donnerait la forme