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LINÉAIRES.

$y=\beta \left\{1+{\frac {cb^{x}}{(b-a)(b-1)}}+{\frac {c^{2}b^{2x}}{(b^{2}-a)(b^{2}-1)(b-a)(b-1}}+\ldots \right\}$

$+{\frac {\alpha a^{x-1}}{a-1}}\left\{1+{\frac {cb^{x}}{a(ab-1)(b-1)}}+{\frac {c^{2}b^{2x}}{a^{2}(b^{2}a-1)(b^{2}-1)(ba-1)(b-1}}+\ldots \right\}.$

Cette intégrale change de forme lorsque $b=a,\ a=1$ ou $b=1\,;$ et, dans ce dernier cas, on s’assurera aisément qu’elle se réduit à la forme finie, comme toute le équation linéaire à coefficiens constans.

Il faut encore jeter un coup-d’œil sur les équations qui renferment à la fois des différences et des différentielles par rapport à la même variable.

§. III.

Des équations aux différences mêlées à deux variables.

L’équation aux différences mêlées de l’ordre $n$ renfermant en général $(n+1)^{2}+1$ termes, je ne considère ici que celle du premier ordre, dont l’intégration comporte encore de grandes difficultés. Il est d’ailleurs facile de s’assurer que l’intégration d’une équation quelconque, à coefficiens constans, dépend seulement d’opérations algébriques.

Soit donc l’équation du premier ordre

$\Delta {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+P_{x}\Delta y+Q_{x}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+R_{x}y=S_{x}\,;$

il faut tâcher de la rendre en différences ou en différentielles complètes ; mais on verra qu’en général cela est impossible ; car la forme la plus générale qu’on puisse lui donner est

$\Delta \left(M_{x}{\frac {\operatorname {d} \left(N_{x}y\right)}{\operatorname {d} x}}\right),$