Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/360

346

INTÉGRATION

de ces dernières fonctions dépend, en général, de l’intégration d’équations linéaires du second ordre à coefficiens variables.

Nous nous réservons de revenir, dans une autre occasion, sur l’intégration de ces équations. Pour le présent, notre but est uniquement de parcourir successivement les diverses formes que peuvent avoir les fonctions de $x$ qui entrent dans l’intégrale, en allant des plus, simples aux plus composées.

Supposons, en premier lieu, que l’intégrale soit

$y={\frac {(a+bx)+(a'+b'x)k}{(p+qx)+(p'+q'x)k}},$

dans laquelle $a,a',b,b',p,p',q,q'$ sont des constantes déterminées, et où $k$ est la constante arbitraire.

Si l’on change $k$ en ${\frac {1}{k}},$ ce qui est permis, cette formule deviendra

$y={\frac {(a'+b'x)+(a+bx)k}{(p'+q'x)+(p+qx)k}}\,;$

ce qui prouve que, dans la formule (I), on peut transporter les accens des lettres qui en sont affectées à celles qui en sont dépourvues, sans qu’il en résulte autre chose qu’une simple transformation de la constante arbitraire et conséquemment sans que la valeur de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ délivrée de cette constante, soit aucunement affectée par ce changement.

Si, dans la même formule, on change $k$ en $nk+l,$ et qu’on multiplie ensuite les deux termes de la fraction par $m,$ ce qui est permis, elle deviendra

$y={\frac {\left[m(a+la')+m(b+lb')x\right]+(mna'+mnb'x)k}{\left[m(p+lp')+m(q+lq')x\right]+(mnp'+mnq'x)k}}\,;$