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DES ÉQUATIONS.
et on pourra profiter de l’indétermination de
pour rendre trois des coefficiens égaux à trois nombres donnés ; d’où il suit que, dans les deux séries de coefficiens
![{\displaystyle {\begin{array}{lclclcl}a&,&b&,&p&,&q,\\a'&,&b'&,&p'&,&q',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921164749f2865aa50eb918182427f4a18038265)
de la formule (I) on peut toujours amener trois des coefficiens à devenir trois nombres donnés, pourvu que ces coefficiens n’appartiennent pas tous trois à une même série, et qu’on modifie les cinq autres conformément au changement que ceux-là auront éprouvé ; on n’aura fait ainsi, en effet, que l’équivalent d’une transformation de constante arbitraire, et conséquemment la valeur de
délivrée de cette constante, ne sera aucunement affectée de ce changement.
En chassant le dénominateur et transposant, la valeur de
donne
![{\displaystyle \left\{(a+bx)-(p+qx)y\right\}+\left\{(a'+b'x)-(p'+q'x)y\right\}k=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e827d9623d5de3facdf2a57fdb74b13308d663f)
dont la différentielle est
![{\displaystyle \left\{(b-qy)-(p+qx){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}+\left\{(b'-q'y)-(p'+q'x){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right\}k=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e4d5a1e10c409535f15c4d2bfe0565166686e4)
éliminant
entre l’une et l’autre, il viendra, en développant, réduisant et ordonnant,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {(ab'-ba')+\left[(bp'-pb')-(aq'-qa')\right]y+(pq'-qp')y^{2}}{(ap'-pa')+\left[(bp'-pb')-(aq'-qa')\right]x+(bq'-qb')x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7144a81309d8b6b333021c407d0db0c54746c786)
qu’on pourra représenter par