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INTÉGRATION

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {A+2By+Cy^{2}}{P+2Qx+Rx^{2}}},\qquad$(D)

en posant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}ab'-ba'=&A,\quad (1)\quad &(bp'-pb')-(aq'-qa')=&2B,\quad &pq'-qp'=&C,\quad (3)\\ap'-pa'=&P,\quad (2)&(bp'-pb')+(aq'-qa')=&2Q,&bq'-qb'=&R,\quad (4)\end{alignedat}}$

et l’on pourra évidemment remplacer les deux équations sans numéros par les deux suivantes :

${\begin{array}{lr}bp'-pb'=Q+B,&(5)\\aq'-qa'=Q-B.&(6)\end{array}}$

Lors donc que l’on rencontrera une équation différentielle de la forme (D), on sera fondé à soupçonner que son intégrale pourrait bien être de la forme (I), et tout se réduira à déterminer les coefficiens $a,a',b,b',p,p',q,q',$ au moyen des six relations ci-dessus ; à la vérité, elles sembleraient insuffisantes pour cet objet, mais nous avons vu tout à l’heure que trois de ces coefficiens étaient tout-à-fait arbitraires ; il n’est donc question que de déterminer les cinq autres en fonction de ces trois-là ; puis donc que nous avons pour cela six équations, il s’ensuit que le problème, loin d’être indéterminé comme il le paraissait d’abord, est, au contraire, plus que déterminé, et que conséquemment il doit exister, entre les six coefficiens $A,B,C,P,Q,R$ une équation de condition, au défaut de laquelle une équation différentielle de la forme (D) ne pourrait être supposée avoir une intégrale de la forme (I).

Nous verrons tout à l’heure quelle est cette équation de condition, et, pour le moment, nous observerons seulement que, si, dans les