cherché en effet, en représentant par les distances de cette intersection aux points on aura
on aura donc aussi Donc, si l’on construit le lieu de tous les points dont les distances aux points sont dans le rapport de à ce lieu devra passer par tous les points , c’est-à-dire, par tous les points d’intersection des deux lieux , de sorte que les trois lieux doivent se couper aux mêmes points.
Or, il est connu que le lieu de tous les points d’un plan dont les distances à deux points fixes pris sur ce plan sont dans un rapport donné est une circonférence qui a son centre sur la droite qui joint ces deux points ; donc les trois lieux sont des cercles qui ont respectivement leurs centres sur ces trois cercles se coupent donc aux deux mêmes points ; ils ont donc une corde commune ; et par conséquent leurs centres sont sur une même perpendiculaire au milieu de cette corde.
Si présentement on suppose que les points sont les centres de trois cercles et que les longueurs en sont les rayons, on tombera exactement sur le théorème qu’il s’agissait de démontrer.
Si deux des trois cercles sont tangens l’un à l’autre, il est clair qu’ils devront aussi être tangens au troisième ; de sorte qu’alors les trois cercles n’auront qu’un seul point commun.
Si deux des cercles ne se rencontraient pas, il est clair qu’ils ne devraient pas non plus rencontrer le troisième ; mais on voit,
