par le principe de continuité de M. Poncelet, qu’ils devraient avoir alors un axe radical commun.
THÉORÈME II. Si, considérant successivement deux à deux quatre sphères situées d’une manière quelconque dans l’espace, on détermine, pour chaque système de deux sphères, les centres de similitude, tant interne qu’externe, et que, dans chaque système, on fasse de la distance entre ces deux centres le diamètre d’une nouvelle sphère ; les six sphères obtenues par cette construction passeront par les deux mêmes points, et auront ainsi une corde commune et leurs centres dans un même plan perpendiculaire sur le milieu de cette corde.
Démonstration. Ce théorème se démontre exactement comme le précédent. Soient en effet les centres des quatre sphères données, et leurs rayons. Représentons de plus par ) les six sphères qui résultent de la construction indiquée. Chacune d’elles sera le lieu de tous les points de l’espace dont les distances aux deux points qui la désignent seront proportionnelles aux rayons des cercles dont ces points sont les centres.
Les intersections des trois lieux seront donc deux points dont les distances aux points seront proportionnelles à d’où il suit que les lieux devront passer par ces deux mêmes points ; c’est-à-dire que nos six sphères doivent se couper en deux points, suivant quatre cercles seulement, et avoir conséquemment leurs centres sur quatre droites situées dans un même plan.
Si deux des six sphères ne font que se toucher, les quatre autres les toucheront aussi à leurs points de contact, de sorte que les six centres seront sur une même droite.
Si deux des six sphères ne se rencontrent pas, les autres ne les rencontreront pas non plus ; mais elles auront alors un axe radical
