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QUESTIONS

PROBLÈME III. Déterminer le lieu des centres de toutes les sections coniques qui, touchant à la fois deux droites données, passent en outre par deux points donnés ?

Solution. Prenons les deux tangentes pour axes des coordonnées, et soient $(a,b),(a',b')$ les deux points donnés. En supposant toujours que l’équation (1) est celle des courbes dont on cherche le lieu des centres, nous aurons d’abord (4, 5)

$A'^{2}-AC'=0,\quad (\alpha )\qquad B'^{2}-BC'=0.\quad (\beta )$

En second lieu, parce que ces courbes passent par les deux points donnés, nous aurons

${\begin{aligned}Aa\ ^{2}+Bb\ ^{2}+2Ca\ b\ +2A'a\ +2B'b\ +C'=0\ ,&\qquad (\gamma )\\Aa'^{2}+Bb'^{2}+2Ca'b'+2A'a'+2B'b'+C'=0\,;&\qquad (\gamma ')\end{aligned}}$

enfin, $x,y$ étant les coordonnées du lieu des centres, nous aurons encore (9, 10)

$Ax+Cy+A'=0,\quad (\delta )\qquad By+Cx+B'=0\,;\quad (\varepsilon )$

et il s’agira d’éliminer $A,B,C,A',B',C'$ entre ces six équations.

Si d’abord on élimine $C'$ entre les deux premières, et $C$ entre les deux dernières, on aura

$AB'^{2}=BA'^{2},$

$x(Ax+A')=y(By+B').$

En éliminant $B$ entre ces deux équations, on trouve

$(A'x-B'y)\left\{A(A'x+B'y)+A'^{2}\right\}=0,$