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QUESTIONS

au surplus, à l’aide de l’équation ci-dessus, de trouver d’autres points de cette courbe.

PROBLÈME V. Déterminer le lieu des centres de toutes les sections coniques qui passent par les quatre mêmes points donnés ?

Solution, Faisons passer l’axe des $x$ par deux quelconques des quatre points donnés et l’axe des $y$ pour les deux autres ; et soient alors les équations de ces quatre points ainsi qu’il suit :

$\left\{{\begin{aligned}&x=a\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=a'\\&y=0\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=0\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=0\\&y=b\,;\end{aligned}}\right.\quad$

En prenant toujours l’équation (1) pour l’équation commune des courbes dont il s’agit, et exprimant qu’elles passent par ces quatre points, nous aurons

${\begin{array}{rr}Aa^{2}\ +2A'a\ +C'=0,&Bb^{2}\ +2B'b\ +C'=0,\\Aa'^{2}+2A'a'+C'=0,&Bb'^{2}+2B'b'+C'=0.\\\end{array}}$

De plus, $x,y$ étant les coordonnées du lieu des centres, on aura

$Ax+Cy+A'=0,\qquad By+Cx+B'=0.$

Éliminant $A,A'$ entre les équations de gauche, et $B,B'$ entre celles de droite ; il viendra, en réduisant,

${\begin{aligned}&\left\{2x-(a+a')\right\}C'+2aa'yC=0,\\&\left\{2y\ -(b+b')\ \right\}C'+2bb'xC=0\,;\end{aligned}}$

d’où, éliminant enfin $C,C'$, on obtiendra, pour l’équation du lieu demandé