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DES CERCLES, DES SPHÈRES, ETC.

$ci:cE::c'i':c'E\,;$

la comparaison de cette proportion avec les deux précédentes donne

$ei:\mathrm {EI} ::e'i':\mathrm {EI} \,;$

donc $ei=e'i'\,;$ d’où on peut conclure encore $ei'=e'i.$ Donc, si $\mathrm {O}$ est le milieu de $ii',$ ce sera aussi le milieu de $ee'\,;$ et par conséquent la perpendiculaire conduite par $\mathrm {O} ,$ à la droite qui joint les centres, sera à la fois également distante et des deux polaires de similitude internes et des deux polaires de similitude externes.

94. THÉORÈME. La perpendiculaire à la droite qui joint les centres de deux cercles, qui est à la fois également distante de leurs polaires de similitude internes et de leurs polaires de similitude externes, n’est autre chose que l’axe radical de ces deux cercles.

Démonstration. On a, par ce qui précède,

${\begin{aligned}&R^{2}\ =\ ce\ .\ c\mathrm {E} =ce(cc'+c'\mathrm {E} ),\\&R'^{2}=c'e'.c'\mathrm {E} =c'e'(c\mathrm {E} -cc')\,;\end{aligned}}$

donc

$-R'^{2}=cc'(ce+c'e')+c'\mathrm {E} .ce-c\mathrm {E} .c'e'\,;$

mais, parce que les points $e,e'$ sont homologues dans les deux cercles, et que le point $\mathrm {E}$ est homologue par rapport à tous deux, on doit avoir

$c\mathrm {E} :c'\mathrm {E} ::ce:c'e',$

d’où