tion de trois plans polaires de similitude obtenus pour cette sphère ; en la comparant tour à tour aux trois autres. Ces plans polaires sont au nombre de six, parallèles deux à deux, et forment ainsi un parallélépipède dont les sommets sont les huit pôles dont il s’agit. Le pôle de similitude externe est l’intersection des trois plans polaires de similitude externes ; le pôle de similitude interne est l’intersection des trois plans polaires de similitude internes ; et les pôles de similitude mixtes sont l’intersection de deux plans polaires de similitude externes avec un interne, ou de deux internes avec un externe.
123. Nous pourrions ici différencier entre eux ces différens pôles, en employant des notations analogues à celles dont nous avons fait usage (99 et suivant) ; mais, comme cela ne saurait offrir de difficulté, nous nous dispenserons de nous y arrêter.
124. THÉORÈME. Dans le système de quatre sphères, les pôles de similitude relatifs à chaque plan de similitude sont des points semblablement situés par rapport à ces quatre sphères.
Démonstration. Nous avons déjà vu (40) que chacun des plans de similitude du système de quatre sphères est un plan à la fois semblablement situé par rapport à ces quatre sphères ; et, comme il est d’ailleurs évident que les pôles des plans homologues sont des points homologues, la proposition se trouve ainsi démontrée.
125. On peut, en général, concevoir seize sphères qui touchent à la fois les quatre mêmes sphères données dans l’espace. Pour rendre la chose évidente, prenons un cas fort simple ; concevons que ces quatre sphères, de même rayon, aient leurs centres situés aux quatre sommets d’un tétraèdre régulier, et soient extérieures les unes aux autres. 1.o On pourra concevoir deux sphères, dont l’une les touchent toutes quatre extérieurement, tandis que l’autre les enveloppera toutes trois ; cela ne se pourra que d’une manière unique ; et, dans l’un et l’autre cas, les quatre sphères se trouveront touchées de la même manière par le cinquième. 2.o On
