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D’ALGÈBRE.

les bases supérieures respectives des troncs de pyramides triangulaires résultant de la décomposition d’un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en représentant par $v,v',v'',\ldots$ les volumes des premiers et par $V$ le volume du dernier ; et si, en outre, on représente par $A,B$ ses deux bases, on aura

$A=\Sigma (a),\qquad B=\Sigma (b),\qquad C=\Sigma (c)\,;$

mais on démontre, par les élémens que $h$ étant la hauteur du tronc

${\begin{aligned}&v\ \ =\left(a\ \ +b\ \ +{\sqrt {\ a\ \ b\ \ }}\right){\frac {h}{3}},\\&v'\,=\left(a'\,+b'\,+{\sqrt {a'\,b'\ }}\right){\frac {h}{3}},\\&v''=\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right){\frac {h}{3}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc

$V=\left\{\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)\right\}{\frac {h}{3}}\,;$

mais on a de plus

${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b''}{a''}}=\ldots \,;$

donc

$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\Sigma (a)+\Sigma (b)+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}=A+B+{\sqrt {AB}}\,;$

donc enfin

$V=\left(A+B+{\sqrt {AB}}\right){\frac {h}{3}}.$

Versailles, le 11 juin 1821.