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THÉORÈME
Soient 
les points où les diagonales 
qui partent des deux extrémités de l’un quelconque 
des côtés du quadrilatère, rencontrent la troisième diagonale 
Soit 
le point de contact de ce même côté avec l’une quelconque des sections coniques dont il s’agit ; en menant 
coupant les côtés adjacent 
en 
ces points seront ceux de contact de la section conique avec ces mêmes côtés[1] ; donc, si l’on divise les cordes de contact 
en deux parties égales, aux points 
et qu’on mène ensuite les droites 
leur point de concours 
sera le centre de la section conique correspondant au point de contact 
Tout se réduit donc à prouver que ce point est sur la droite 
Or, d’après la manière dont le point vient d’être déterminé, on voit que la direction de la droite 
est conjuguée à celle de 
par rapport aux droites et 
ou 
d’où il suit que, si l’on mène la parallèle 
à 
elle sera conjuguée harmonique de 
c’est-à-dire que les quatre droites 
formeront entre elles un faisceau harmonique[2]. Pareillement, si l’on mène 
parallèle à 
les quatre droites 
formeront aussi un faisceau harmonique.
Il suit de là que si, par le point 
d’intersection des parallèles 
à 
et par le point, 
on mène la droite 
elle passera par le point 
car les points où la droite 
rencontre les droites et 
doivent être, à la fois, les quatrièmes harmoniques des trois points 
(ce dernier étant celui où coupe ) ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que les deux points dont il s’agit ne se confondent en un seul et même point en 
Il suit de là aussi que, si le point parcourait une droite, il
- ↑ Mémoire sur les lignes du second ordre, par C. J. Brianchon, page 22, art. XIX.
- ↑ Voyez le même ouvrage, pag. 9, art. V.
