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THÉORÈME
Soient
les points où les diagonales
qui partent des deux extrémités de l’un quelconque
des côtés du quadrilatère, rencontrent la troisième diagonale
Soit
le point de contact de ce même côté avec l’une quelconque des sections coniques dont il s’agit ; en menant
coupant les côtés adjacent
en
ces points seront ceux de contact de la section conique avec ces mêmes côtés[1] ; donc, si l’on divise les cordes de contact
en deux parties égales, aux points
et qu’on mène ensuite les droites
leur point de concours
sera le centre de la section conique correspondant au point de contact
Tout se réduit donc à prouver que ce point
est sur la droite
Or, d’après la manière dont le point
vient d’être déterminé, on voit que la direction de la droite
est conjuguée à celle de
par rapport aux droites
et
ou
d’où il suit que, si l’on mène la parallèle
à
elle sera conjuguée harmonique de
c’est-à-dire que les quatre droites ![{\displaystyle {\rm {AB,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9c79790607e11c1cd23c54032bfd8e0fa5bee2)
formeront entre elles un faisceau harmonique[2]. Pareillement, si l’on mène
parallèle à
les quatre droites
formeront aussi un faisceau harmonique.
Il suit de là que si, par le point
d’intersection des parallèles
à
et par le point,
on mène la droite
elle passera par le point
car les points où la droite
rencontre les droites
et
doivent être, à la fois, les quatrièmes harmoniques des trois points
(ce dernier étant celui où
coupe
) ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que les deux points dont il s’agit ne se confondent en un seul et même point en
Il suit de là aussi que, si le point
parcourait une droite, il
- ↑ Mémoire sur les lignes du second ordre, par C. J. Brianchon, page 22, art. XIX.
- ↑ Voyez le même ouvrage, pag. 9, art. V.