Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/121

117

CONIQUES.

droite doit percer le plan de la base du cône, on trouvera ainsi pour ces coordonnées,

${\begin{aligned}&x=a-X.{\frac {A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )}{AX+BY+CZ}},\\\\&y=b-Y.{\frac {A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )}{AX+BY+CZ}},\\\\&z=c-Z.{\frac {A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )}{AX+BY+CZ}}.\end{aligned}}$

Si présentement on veut que la droite (4) soit sur le cône, il faudra que le point où elle perce le plan de sa base soit un point du périmètre de cette base, et conséquemment un point de la sphère (3) ; il faudra donc exprimer que les coordonnées de ce point satisfont à l’équation de la sphère ; or, des formules ci-dessus, on tire

${\begin{aligned}&x-\alpha =a-\alpha -X.{\frac {A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )}{AX+BY+CZ}},\\\\&y-\beta =b-\beta -Y.{\frac {A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )}{AX+BY+CZ}},\\\\&z-\gamma =c-\gamma -Z.{\frac {A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )}{AX+BY+CZ}}.\end{aligned}}$

exprimant donc que la somme des quarrés de ces valeurs est égale à $r^{2},$ nous aurons

$r^{2}=(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}.$

$-2{\frac {\left\{A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )\right\}\left\{X(a-\alpha )+Y(b-\beta )+Z(c-\gamma )\right\}}{AX+BY+CZ}}$