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SECTIONS

$+(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}){\frac {\left\{A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )\right\}^{2}}{(AX+BY+CZ)^{2}}}.$

En chassant le dénominateur et ayant égard à la relation (5) cette équation devient

$\left\{(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}-r^{2}\right\}(AX+BY+CZ)^{2}$

$-2\left\{A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )\right\}\left\{X(a-\alpha )+Y(b-\beta )+Z(c-\gamma )\right\}$

$\times (AX+BY+CZ)$

$+\left\{A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )\right\}^{2}=0\,;\qquad$(6)

elle exprime la relation qui doit exister entre $X,Y,Z,$ déjà liés par la condition (5), pour que la droite (4) soit sur le cône.

Des équations (4, 5), on tire

${\begin{aligned}&X={\frac {x-a}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}},\\\\&Y={\frac {y-b}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}},\\\\&Z={\frac {z-c}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

d’où

$AX+BY+CZ={\frac {A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}},$

$X(a-\alpha )+Y(b-\beta )+Z(c-\gamma )=$

${\frac {(a-\alpha )(x-a)+(b-\beta )(y-b)+(c-\gamma )(z-c)}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}},$