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CONIQUES.

substituant donc ces valeurs dans l’équation (6), on aura, pour l’équation de la surface convexe du cône dont il s’agit,

${\frac {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}{\left\{A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)\right\}^{2}}}$

$-2.{\frac {(a-\alpha )(x-a)+(b-\beta )(y-b)+(c-\gamma )(z-c)}{\left\{A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )\right\}\left\{A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)\right\}}}$

$+{\frac {(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}-r^{2}}{\left\{A(a-\alpha )+B(b-\beta )+C(c-\gamma )\right\}^{2}}}=0.\qquad$(7)

Or, puisque ce cône est quelconque par rapport aux plans coordonnés, il s’ensuit que réciproquement les plans coordonnés sont quelconques par rapport à lui ; donc, en particulier, sa trace sur le plan des $xy$ est son intersection par un plan quelconque ; or, on obtient l’équation de cette trace en faisant $z=0\,;$ donc la section du cône par un plan quelconque est une ligne du second ordre, puisque, par cette hypothèse, on obtiendra une équation de second degré en $x$ et $y.$ Il serait d’ailleurs facile de prouver que cette équation pourra indistinctement exprimer une parabole, une ellipse ou une hyperbole, et même une section conique dont les dimensions seraient données.