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DIAMÈTRES

Or, 1.^o en prenant la somme des équations (16, 17, 18), et ayant égard aux équations (4, 5, 6), on aura

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.$

2.^o En prenant la somme des produits de ces mêmes équations deux à deux, et retranchant de cette somme la somme des quarrés des équations (19, 20,21), il viendra, en ayant égard aux équations (4, 5, 6, 7, 8, 9),

$b'^{2}c'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +c'^{2}a'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta +a'^{2}b'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\,;$

3.^o Si, enfin, du produit des équations (16, 17, 18), on retranche le produit des équations (19, 20, 21), en ayant égard aux équations (4, 5, 6, 10, 11, 12), il viendra

$\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)a'^{2}b'^{2}c'^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}.$

Ce sont là les trois relations entre les diamètres principaux de l’ellipsoïde et trois autres diamètres conjugués quelconques, telles qu’elles ont été données par M. Bérard, dans le présent recueil (tom. III, pag. 113).

Si l’on veut présentement que les trois diamètres soient de même longueur, il faudra poser en outre la double équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}\,;\qquad$(22)

qui, jointe aux six précédentes, ne portera leur nombre total qu’à huit seulement, nombre insuffisant pour déterminer les neuf coordonnées $x,y,z,x',y',z',x'',y'',z'',$ de sorte qu’en éliminant les six dernières, on parviendra aux deux équations en $x,y,z$ d’une ligne courbe sur laquelle devra se trouver le point $(x,y,z),$ pour que le diamètre, passant par ce point, puisse