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INTÉGRALES DÉFINIES.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Recherches sur les intégrales définies ;

Par M. H. G. Schmidten.

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Toute fonction se développant, en général, suivant les puissances de la variable indépendante, on peut toujours mettre une fonction quelconque $\operatorname {F} (t)$ sous la forme ${\rm {S}}.y_{x}t^{x},$ le signe ${\rm {S}}$ s’étendant à tous les nombres entiers, depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et $y_{x}$ étant indépendant de $t.$

Cela posé, le problème général de la sommation des suites revient à transformer la quantité ${\rm {S}}.y_{x}t^{x},$ de la manière la plus propre à l’évaluation de la fonction $\operatorname {F} (t)\,;$ et les différentes méthodes qu’offre l’analise pour cet objet, soit par le calcul des différences finies, soit par les substitutions employées par Euler, se ramènent toutes aux fonctions génératrices.

Mais si, au lieu de transformer de diverses manières la série qui équivaut à la fonction $\operatorname {F} (t),$ on se proposait d’en déduire de nouvelles, qui répondissent à certaines conditions, le problème serait essentiellement différent du premier ; et les différentes méthodes qui se présentent, dans cette partie de l’analise, se rattachent presque toutes à la théorie des intégrales définies, quoiqu’on voie difficilement la liaison qui existe entre elles. C’est pourquoi je me propose de présenter quelques recherches où elles sont comprises