d’où l’intégrale connue
Si, au lieu de Cos . c u , {\displaystyle \operatorname {Cos} .cu,} on avait Sin . c u , {\displaystyle \operatorname {Sin} .cu,} on procéderait d’une manière analogue.
Faisant présentement U = u α ( 1 − a u 2 ) β {\displaystyle U=u^{\alpha }\left(1-au^{2}\right)^{\beta }} et U 1 = u γ ( 1 − a u 2 ) δ , {\displaystyle U_{1}=u^{\gamma }\left(1-au^{2}\right)^{\delta },} l’on aura
d’où
Supposant α = 2 {\displaystyle \alpha =2} et γ = 2 c , {\displaystyle \gamma =2c,} on trouve, pour le seeond membre
Soient, par exemple, β = 0 , F ( U ) = Cos . u ; {\displaystyle \beta =0,\ \operatorname {F} (U)=\operatorname {Cos} .u\,;} en observant que
on trouve facilement
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\left[m\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {c}{\delta }}\right)\right]={\frac {\left(1+{\frac {c^{2}}{\delta ^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}}{2}}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f893378c7299a4066bc0093eb7ecd6cc8023cc93)
![{\displaystyle \int u^{\gamma }e^{-\delta u}.\operatorname {Cos} .cu.\operatorname {d} u={\frac {\operatorname {Cos} .\left[(\gamma +1)\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {c}{\delta }}\right)\right]}{\left(1+{\frac {c^{2}}{\delta ^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2}}}}\int u^{\gamma }e^{-\delta u}\operatorname {d} u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561bf4d56aafe1c237ba39cc5fb83ea03aaa8287)
on avait 
on procéderait d’une manière analogue.
et 
l’on aura
et 
on trouve, pour le seeond membre
![{\displaystyle S.y_{x}.{\frac {1.3.5\ldots \left[2(c+x)-1\right]}{\left[2(\delta +\beta x)\right]^{c+x}(\delta +\beta x)^{\frac {1}{2}}}}\int e^{-t^{2}}\operatorname {d} t.\quad \left({\begin{aligned}&t=-\infty \\&t=+\infty \end{aligned}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49600eecc064a48e7e144c65d5a262870a0c9da)
en observant que
