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DÉFINIES.

et, si les limites étaient $0$ et $\infty ,$ cette dernière quantité se réduirait à la moitié de sa valeur.

Mais ces recherches se continuant sans difficulté, par le principe que nous avons posé, je passe aux fonctions circulaires ; et quoique ces dernières fonctions puissent être considérées comme cas particuliers de celles que nous venons de discuter, elles exigent néanmoins des modifications remarquables.

En effet, de la formule connue

$\int u^{m-1}(1+bu)^{p}\operatorname {d} u=(1+bu)^{p+1}\left\{{\frac {u^{m-1}}{b(m+p)}}-{\frac {(m-1)u^{m-1}}{b^{2}(m+p)(m+p-1)}}\right\}$

$+{\frac {(m-1)(m-2)}{b^{2}(m+p)(m+p-1)}}\int u^{m-3}(1+bu)^{p}\operatorname {d} u,$

en faisant

${\frac {\left(1+bu{\sqrt {-1}}\right)^{p}+\left(1-bu{\sqrt {-1}}\right)^{p}}{2}}=\phi (p,u),$

${\frac {\left(1+bu{\sqrt {-1}}\right)^{p}-\left(1-bu{\sqrt {-1}}\right)^{p}}{2}}=\psi (p,u),$

on tire

$\int u^{m-1}\phi (p,u)\operatorname {d} u=\psi (p+1,u){\frac {u^{m-1}}{b(m+p)}}+{\frac {(m-1)u^{m-2}\phi (p+1,u)}{b^{2}(m+p)(m+p-1)}}$

$-{\frac {(m-1)(m-2)}{b^{2}(m+p)(m+p-1)}}\int u^{m-3}\phi (p,u)\operatorname {d} u,$

et, en continuant ces opérations jusqu’à ce que l’exposant de $u$ soit devenu $=0,$ on aura deux séries dont l’une contiendra la fonction $\phi$ et l’autre la fonction $\psi \,;$ et les limites qui les rendent $=0$ étant différentes, il sera impossible d’assigner deux limites entre lesquelles tous les termes hors du signe d’intégration disparaissent. En conséquence, si l’on ne veut, dans le problème qui