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DÉFINIES.

différentes, dont chacune a ses avantages ; nous allons présentement les discuter, en commençant par la première, où la valeur de $y_{n}$ est exprimée par la fonction génératrice $\operatorname {F} (t).$ Supposons celle-ci $=\operatorname {f} (t,v\,;$) ; on aura, en développant suivant les puissances de $t$ et $v,$ la série à double entrée

${\begin{array}{lll|ll|l}&\ \ a_{0,0}&+a_{1,0}&v&+a_{2,0}&v^{2}+\ldots \\&+ta_{0,1}&+ta_{1,1}&&+ta_{2,1}&+\ldots \\&+t^{2}a_{0,2}&+t^{2}a_{1,2}&&+t^{2}a_{2,2}&+\ldots \\&+\ldots &+\ldots &&+\ldots &+\ldots \end{array}}$

Maintenant, on peut faire $v$ égal à une puissance quelconque entière de $t\,;$ et, quelle qu’elle soit, on est toujours en état d’exprimer, par une intégrale définie, le coefficient d’une puissance quelconque de $t$ qui provienne de cette substitution pour $v.$ Faisant, par exemple, $v={\frac {1}{t}},$ d’où le coefficient de $t^{n}$ devient

$a_{n,0}+a_{n+1,1}+a_{n+2,2}+\ldots ={\frac {1}{2\varpi }}\int \left[e^{-nu{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(e^{+u{\sqrt {-1}}},e^{-u{\sqrt {-1}}}\right)\right.$

$\left.+e^{+nu{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(e^{-u{\sqrt {-1}}},e^{+u{\sqrt {-1}}}\right)\right]$

depuis $u=0$ jusqu’à $u=\varpi .$ Soit, par exemple, $\operatorname {f} (t,v)=e^{te^{v}}\,;$ on trouve, par cette formule, en faisant $n=0,$ la série

$1+{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {3}{(1.2)^{2}}}+{\frac {4^{2}}{(1.2.3)^{2}}}+{\frac {5^{3}}{(1.2.3.4)^{2}}}+{\frac {6^{4}}{(1.2.3.4.5)^{2}}}+\ldots$

$={\frac {1}{2\varpi }}\int \left(e^{e^{+u{\sqrt {-1}}+e^{-u{\sqrt {-1}}}}}+e^{e^{-u{\sqrt {-1}}+e^{+u{\sqrt {-1}}}}}\right)\operatorname {d} u.$