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DÉFINIES.
différentes, dont chacune a ses avantages ; nous allons présentement les discuter, en commençant par la première, où la valeur de
est exprimée par la fonction génératrice
Supposons celle-ci
) ; on aura, en développant suivant les puissances de
et
la série à double entrée
![{\displaystyle {\begin{array}{lll|ll|l}&\ \ a_{0,0}&+a_{1,0}&v&+a_{2,0}&v^{2}+\ldots \\&+ta_{0,1}&+ta_{1,1}&&+ta_{2,1}&+\ldots \\&+t^{2}a_{0,2}&+t^{2}a_{1,2}&&+t^{2}a_{2,2}&+\ldots \\&+\ldots &+\ldots &&+\ldots &+\ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7285a197b50af407c156d9a6a609245f7b1f9d)
Maintenant, on peut faire
égal à une puissance quelconque entière de
et, quelle qu’elle soit, on est toujours en état d’exprimer, par une intégrale définie, le coefficient d’une puissance quelconque de
qui provienne de cette substitution pour
Faisant, par exemple,
d’où le coefficient de
devient
![{\displaystyle a_{n,0}+a_{n+1,1}+a_{n+2,2}+\ldots ={\frac {1}{2\varpi }}\int \left[e^{-nu{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(e^{+u{\sqrt {-1}}},e^{-u{\sqrt {-1}}}\right)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd397018d92a93fd6baabf68a62fddd7ed5fe9e3)
![{\displaystyle \left.+e^{+nu{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(e^{-u{\sqrt {-1}}},e^{+u{\sqrt {-1}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dfe0d926d4a88170a8098ddbcd1820229203dd)
depuis
jusqu’à
Soit, par exemple,
on trouve, par cette formule, en faisant
la série
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {3}{(1.2)^{2}}}+{\frac {4^{2}}{(1.2.3)^{2}}}+{\frac {5^{3}}{(1.2.3.4)^{2}}}+{\frac {6^{4}}{(1.2.3.4.5)^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6de88156b89b7b23b3157b29c97abad2ed09155)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2\varpi }}\int \left(e^{e^{+u{\sqrt {-1}}+e^{-u{\sqrt {-1}}}}}+e^{e^{-u{\sqrt {-1}}+e^{+u{\sqrt {-1}}}}}\right)\operatorname {d} u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59250fd1c70f5d55a9d4d17b659633204f7649b0)