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PARALLÉLISME DES LIGNES

Si, en effet, une surface est donnée, par une équation en $x,y,z\,;$ en différentiant successivement cette équation, par rapport aux deux variables indépendantes $x$ et $y,$ on en tirera les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}$ et ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}$ qui pourront être substituées dans les équations (1, 2) ; joignant les équations résultantes à l’équation (3) et à l’équation de la surface proposée, on aura en tout quatre équations, entre lesquelles élimment $x,y,z,$ l’équation résultante, en $t,u,v,$ sera celle de la surface demandée.

Pour premier exemple, supposons que la surface à laquelle on veut mener une surface parallèle à la distance $k$ soit un plan donné par l’équation

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$

on en tirera, par différentiation,

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {c}{a}},\qquad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=-{\frac {c}{b}},$

au moyen de quoi les équations (1, 2) deviendront

$t-x={\frac {c}{a}}(v-z),\qquad u-y={\frac {c}{b}}(v-z)\,;$

mais l’équation du plan donné peut être mise sous cette forme

$bc(t-x)+ca(u-y)+ab(v-z)=bct+cau+abv-abc\,;$

de celle-ci et des deux qui la précède, on tire

${\begin{aligned}&t-x={\frac {bc(bct+cau+abv-abc)}{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}},\\\\&u-y={\frac {ca(bct+cau+abv-abc)}{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}},\end{aligned}}$