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ET DES SURFACES COURBES.

$v-z={\frac {ab(bct+cau+abv-abc)}{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}}$

substituant donc, dans l’équation (3), on obtiendra, pour l’équation de la surface parallèle cherchée

$bct+cau+abv-abc=abc\pm k{\sqrt {b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}}\,;$

équation commune à deux plans, comme on pouvait bien s’y attendre.

Soit encore la surface donnée une sphère, rapportée à des coordonnées rectangulaires, et ayant son centre à l’origine ; son équation sera

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

d’où

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {x}{z}},\qquad {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=-{\frac {y}{z}}\,;$

au moyen de quoi les équations (1, 2) deviennent

$t-x={\frac {x}{z}}(v-z),\qquad u-y={\frac {y}{z}}(v-z),$

et donnent, en les combinant avec l’équation (3),

$t-x=\pm {\tfrac {kx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\quad u-y=\pm {\tfrac {ky}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\quad v-z=\pm {\tfrac {kz}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},$

c’est-à-dire,

$t-x=\pm {\frac {kx}{r}},\quad u-y=\pm {\frac {ky}{r}},\quad v-z=\pm {\frac {kz}{r}},$

d’où