Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/41

37

DÉFINIES.

$\int e^{-m\zeta }z^{a+1}\operatorname {d} z=a!(a+1)\,;$

donc, suivant notre notation,

$(a+1)!=a!(a+1)\,;\qquad$(2)

or $0!=1\,;$ donc

$1!=1.1,\quad 2!=1.1.2,\quad 3!=1.1.2.3,\ldots ,n!=1.2.3.\ldots n.$

En multipliant les deux membres de l’équation (1) par $e^{-m}m^{a+b+1}\operatorname {d} m,$ et intégrant depuis $m=0$ jusqu’à $m={\frac {1}{0}},$ on trouve

$\int \int e^{-m(1+\zeta )}m^{a+b+1}z^{a}\operatorname {d} m\operatorname {d} z=a!b!\,;$

or, d’après l’équation (1), l’on a, entre les limites désignées,

$\int e^{-m(1+\zeta )}m^{a+b+1}\operatorname {d} m=(a+b+1)!{\frac {1}{(1+z)^{a+b+2}}}\,;$

donc

$\int {\frac {z^{a}\operatorname {d} z}{(1+z)^{a+b+2}}}={\frac {a!b!}{(a+b+1)!}}\quad {\begin{array}{|c|}\hline z=0\\z={\frac {1}{0}}\\\hline \end{array}}\,;\qquad$(3)

Si l’on pose $e^{-\zeta }=x,$ on trouvera

$a!=\int \left(\operatorname {l} {\frac {1}{x}}\right)^{a}\operatorname {d} x\quad {\begin{array}{|c|}\hline x=0\\x=1\\\hline \end{array}}.$

Si l’on pose, au contraire, $z={\frac {x}{1-x}},$ on trouvera

${\frac {z^{a}\operatorname {d} z}{(1+z)^{a+b+2}}}=x^{a}(1-x)^{b}\operatorname {d} x\,;$

d’où