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INTÉGRALES
![{\displaystyle \int x^{a}(1-x)^{b}\operatorname {d} x={\frac {a!b!}{(a+b+1)!}}\quad {\begin{array}{|c|}\hline x=0\\x=1\\\hline \end{array}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37f972021189cdc85d3c6240515ff4d6a9d3b268)
ce qui établit entre les intégrales Eulériennes une relation très-remarquable, déjà connue depuis long-temps. Nous ne discuterons pas les cas particuliers que présente l’équation (3). On peut les voir dans les Exercices de calcul intégral de M. Legendre.
L’on a, en mettant au lieu de
son développement,
![{\displaystyle \int e^{-y}\operatorname {Cos} .qy\operatorname {d} y=\int e^{-y}\operatorname {d} y\left(1-{\frac {q^{2}y^{2}}{2!}}+{\frac {q^{4}y^{4}}{4!}}-{\frac {q^{6}y^{6}}{6!}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fa3e2da5fb57f9325d797c1286fc8882b7cf82)
d’où, en intégrant depuis
jusqu’à ![{\displaystyle y={\frac {1}{0}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c99c19232da62f8c104356da56c9863667e6b0)
![{\displaystyle \int e^{-y}\operatorname {Cos} .qy\operatorname {d} y=1-q^{2}+q^{4}-q^{6}+\ldots ={\frac {1}{1+q^{2}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdb61cc32781b80d9911c657569e25c178ae59f)
(4)
On trouverait de même, et entre les mêmes limites,
![{\displaystyle \int e^{-y}\operatorname {Sin} .qy\operatorname {d} y={\frac {q}{1+q^{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfc5622e2e13239b81f3b176cc24c0686c3bc4c)
(5)
partant
![{\displaystyle \int \int e^{-y}\operatorname {Cos} .qy\operatorname {Cos} .qx\operatorname {d} y\operatorname {d} q=\int {\frac {\operatorname {Cos} .qx\operatorname {d} q}{1+q^{2}}}={\frac {\varpi }{2}}e^{-x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51915f749d14282b1745043e7a888b60c25fa8f)
![{\displaystyle \int \int e^{-y}\operatorname {Sin} .qy\operatorname {Sin} .qx\operatorname {d} y\operatorname {d} q=\int {\frac {q\operatorname {Sin} .qx\operatorname {d} q}{1+q^{3}}}={\frac {\varpi }{2}}e^{-x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fd757944c06a813761f9acc9a7364d9758b61d)
pourvu qu’on prenne les intégrales depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à ![{\displaystyle q={\frac {1}{0}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3227e3094f5721c781dabdfff46efebafe64f74b)