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FONCTIONNELLES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Au surplus $i$ comme nous n’avons ici besoin que d’un cas particulier quelconque, nous pouvons faire $b=0,$ ce qui nous donnera

$\operatorname {f} (x)={\frac {a^{2}}{c(a-cx)}}\,;$

il viendra en effet

$\operatorname {f} ^{2}(x)=\operatorname {f} \left[{\frac {a^{2}}{c(a-cx)}}\right]={\frac {a^{2}}{c\left[a-c{\frac {a^{2}}{c(a-cx)}}\right]}}\,;$

c’est-à-dire,

$\operatorname {f} ^{2}(x)=-{\frac {a(a-cx)}{c^{2}x}}\,;$

et de là

$\operatorname {f} ^{3}(x)=\operatorname {f} \left\{-{\frac {a(a-cx)}{c^{2}x}}\right\}={\frac {a^{2}}{c\left[a+c{\frac {a(a-cx)}{c^{2}x}}\right]}}\,;$

c’est-à-dire, en réduisant, $\operatorname {f} ^{3}(x)=x.$

Adoptant donc cette valeur de la fonction $\operatorname {f} ,$ et prenant, par exemple, $\phi (x)=e^{x},$ d’où $\phi ^{-1}(x)=\operatorname {Log} .x,$ nous aurons

$\psi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (e^{x})=\phi ^{-1}\left\{{\frac {a^{2}}{c\left(a-ce^{x}\right)}}\right\}\,;$

c’est-à-dire,

$\psi (x)=\operatorname {Log} .\left\{{\frac {a^{2}}{c\left(a-ce^{x}\right)}}\right\}=2\operatorname {Log} .a-\operatorname {Log} .c-\operatorname {Log} .\left(a-ce^{x}\right)\,;$

faisant, par exemple, $c=1,$ il viendra

$\psi (x)=2\operatorname {Log} .a-\operatorname {Log} .\left(a-e^{x}\right)\,;$

on aura, en effet,

$\psi ^{2}(x)=\operatorname {Log} .a+\operatorname {Log} .\left(a-e^{x}\right)-\operatorname {Log} .\left(-e^{x}\right)\,;$

et ensuite