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ÉQUATIONS

$\psi ^{3}(x)=\operatorname {Log} .e^{x}=x.$

Nous donnerons encore, d’après M. Babbage, les exemples suivans de fonctions périodiques du troisième ordre

$\psi (x)={\frac {a{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}},\qquad \psi (x)={\frac {a^{2}}{\sqrt[{m}]{a^{m}-x^{m}}}},$

$\psi (x)={\frac {a{\sqrt[{m}]{x^{m}-a^{m}}}}{x}},\qquad \psi (x)=c-x+\operatorname {Log} .\left(e^{x}-e^{c}\right).$

En général, si $\operatorname {f}$ désigne une fonction de telle forme qu’on ait $\operatorname {f} ^{n}(x)=x,$ et si $\phi$ et $\phi ^{-1}$ sont deux fonctions arbitraires inverses l’une de l’autre ; en posant

$\psi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x),$

$\psi$ sera une fonction périodique du $n.$^me ordre ; de sorte que toute la difficulté de trouver, dans chaque ordre, tant de fonctions périodiques qu’on voudra se réduit, en dernière analise, à en trouver une seule, et c’est ce à quoi on peut procéder d’une manière analogue à celle dont nous avons fait usage pour le second et le troisième ordre. M. Babbage indique pour cela la formule générale

$\operatorname {f} (x)={\frac {2a\left(1+\operatorname {Cos} .{\frac {2m\varpi }{n}}\right)(a+bx)}{2ac\left(1+\operatorname {Cos} .{\frac {2m\varpi }{n}}\right)-\left(b^{2}-2bc\operatorname {Cos} .{\frac {2m\varpi }{n}}+c^{2}\right)x}},$

en renvoyant, pour un plus ample détail, à un mémoire de M. Horner, inséré dans les Annales of philosophy (Nov. 1817).

M. Babbage observe, au surplus, que si, dans l’équation $\psi ^{n}(x)=x,\ n$ est un nombre composé, $pq$ par exemple, toute fonction qui satisfera à l’une ou à l’autre des équations $\psi ^{p}(x)=x,\ \psi ^{q}(x)=x,$ satisfera, à plus forte raison, à l’équation $\psi ^{n}(x)=x.$