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QUESTIONS

$a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=p,\qquad a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=q,$

ce terme général deviendra

${\frac {1}{2}}.{\frac {p^{n}+q^{n}}{1.2.3\ldots n}}\,;$

donc la suite proposée est la somme de deux autres dont les termes généraux sont respectivement

${\frac {1}{2}}.{\frac {p^{n}}{1.2.3\ldots n}},\qquad {\frac {1}{2}}.{\frac {q^{n}}{1.2.3\ldots n}}\,;$

or, ces suites sont connues et sont les développemens respectifs de

${\frac {1}{2}}e^{p},\qquad {\frac {1}{2}}e^{q},\qquad \,;$

donc, en désignant par $S$ la somme de la suite proposée, on aura

$2S=e^{p}+e^{q},$

ou, en remettant pour $p$ et $q$ les fonctions dont ils sont les symboles,

$2S=e^{a\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{a\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\,;$

ou bien encore

$2S=e^{a\operatorname {Cos} .x}\left(e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\right)\,;$

mais on sait que

$e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}=2\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)\,;$

donc enfin