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RÉSOLUES.

$S=e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x).$

M. Querret déduit ce résultat d’un théorème très-général. Si l’on sait, dit-il, sommer la suite

$A_{0}+A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots \qquad$(1)

dans laquelle $A_{0},A_{1}a,A_{2},\ldots$ sont supposés des coefficiens numériques, et qu’on en représente la somme par $\operatorname {f} (a)\,;$ on aura

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}$

pour la somme de la série

$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Cos} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3x+\ldots \qquad$(2)

et

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2{\sqrt {-1}}}}$

pour la somme de la série

$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Sin} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3x+\ldots \qquad$(3)

En effet, suivant la signification donnée à la caractéristique, $\operatorname {f} ,$ en changeant successivement $a$ en

$a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\quad$et$\quad a(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x),$

on a

$\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]$

pour la somme de la série