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RÉSOLUES.

$S=e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x),$

comme ci-dessus ; résultat qu’on peut mettre aussi sous la forme

${\frac {e^{ae^{+x{\sqrt {-1}}}}+e^{ae^{-x{\sqrt {-1}}}}}{2}}$

M. C. G. observe qu’au surplus le résuItat

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+\ldots$

peut se vérifier immédiatement par le développement. On en effet, que

$e^{a\operatorname {Cos} .x}=1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \,;$

$\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

$1-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}x}{1.2}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{4}x}{1.2.3.4}}-{\frac {a^{6}\operatorname {Sin} .^{6}x}{1.2.3\ldots 6}}+{\frac {a^{8}\operatorname {Sin} .^{8}x}{1.2.3\ldots 8}}+\ldots \,;$

multipliant ces équations membre à membre, ordonnant le second membre du produit par rapport à $a,$ et faisant attention qu’en général

$\operatorname {Cos} .nx=\operatorname {Cos} .^{n}x-{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Sin} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{n-2}x$

$+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.{\frac {n-3}{4}}.\operatorname {Sin} .^{4}x\operatorname {Cos} .^{n-4}x-\ldots$

il viendra

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \quad (\alpha )$

M. Stein observe que, par le même procédé, on se convsincra facilement que