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QUESTIONS

$A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 4)$

et

$\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]$

pour la somme de la série

$A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 5)$

or, la série (2) est la somme des séries (4, 5) divisée par $2\,;$ et la série (3) est la différence de ces mêmes séries, divisée par $2{\sqrt {-1}},$ donc la somme de la série (2) doit être la somme des séries (4, 5) divisée par $2\,;$ et la série (3) doit être la différence de ces mêmes séries, divisée par $2{\sqrt {-1}}.$

L’application à la série proposée est facile ; on a, comme l’on sait,

$e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \,;$

donc $e^{a}=\operatorname {f} (a)\,;$ donc la somme de la série

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

sera, d’après ce qui précède,

$S={\frac {e^{a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}+e^{a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}}{2}},$

ou

$S={\frac {e^{a\operatorname {Cos} .x}\left(e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\right)}{2}}\,;$

c’est-à-dire