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INTÉGRALES

car alors on n’aurait à lui comparer que les autres courbes qui passeraient par ces deux mêmes points ; mais nous allons voir bientôt qu’on est toujours à temps d’avoir égard à ces restrictions à la fin du calcul, et que jusques-là on peut regarder la fonction arbitraire $Y$ comme absolument indéterminée.

6. Par le changement de $y$ en $y+iY,$

$\left.{\begin{aligned}&y\\&y'\\&y''\\&y'''\\&{\text{»}}\end{aligned}}\right\}\mathrm {\ deviendront\ respectivement\ } \left\{{\begin{aligned}&y\ \ +iY\\&y'\ +iY'\\&y''\,+iY''\\&y'''+iY'''\\&\ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

En conséquence, on trouvera, par l’application de la série de Taylor au développement des fonctions des polynômes, que $V$ doit devenir

$V+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)Y'''+\ldots \right\}{\frac {i}{1}}+\ldots \,;$

en conséquence, $\int V\operatorname {d} x$ deviendra

$\int V\operatorname {d} x+{\frac {i}{1}}\int \left\{\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)Y'''+\ldots \right\}\operatorname {d} x+\ldots$

Afin donc que $\int V\operatorname {d} x$ soit maximum ou minimum, il faudra, suivant les principes connus, que le multiplicateur de $i$ soit nul ; et alors $\int V\operatorname {d} x$ sera maximum ou minimum, suivant que le multiplicateur de $i^{2}$ sera constamment négatif ou constamment positif. La condition commune au maximum et minimum sera donc exprimée par l’équation