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INTÉGRALES
car alors on n’aurait à lui comparer que les autres courbes qui passeraient par ces deux mêmes points ; mais nous allons voir bientôt qu’on est toujours à temps d’avoir égard à ces restrictions à la fin du calcul, et que jusques-là on peut regarder la fonction arbitraire
comme absolument indéterminée.
6. Par le changement de
en
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&y\\&y'\\&y''\\&y'''\\&{\text{»}}\end{aligned}}\right\}\mathrm {\ deviendront\ respectivement\ } \left\{{\begin{aligned}&y\ \ +iY\\&y'\ +iY'\\&y''\,+iY''\\&y'''+iY'''\\&\ldots \ldots \end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0ac102a33e35712e0e1b869907f87aee47d9d3)
En conséquence, on trouvera, par l’application de la série de Taylor au développement des fonctions des polynômes, que
doit devenir
![{\displaystyle V+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)Y'''+\ldots \right\}{\frac {i}{1}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989e3f233a91ed569b62c7b4f3079ede2c52a0d7)
en conséquence,
deviendra
![{\displaystyle \int V\operatorname {d} x+{\frac {i}{1}}\int \left\{\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)Y'''+\ldots \right\}\operatorname {d} x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b79dcbc2025f5383d1614c7041889e37157fa1)
Afin donc que
soit maximum ou minimum, il faudra, suivant les principes connus, que le multiplicateur de
soit nul ; et alors
sera maximum ou minimum, suivant que le multiplicateur de
sera constamment négatif ou constamment positif. La condition commune au maximum et minimum sera donc exprimée par l’équation