Suivant donc l’esprit de la méthode ordinaire de maximis et minimis, il faut, pour parvenir à l’équation de cette courbe, exprimer qu’elle est telle que, pour si peu qu’on la déforme, en tout ou en partie, d’une manière arbitraire, et même discontinue si l’on veut, l’intégrale toujours prise entre les mêmes limites et sous les mêmes conditions, deviendra plus petite dans le cas du maximum, et plus grande dans le cas du minimum.
4. Conservons pour le symbole de l’ordonnée de la courbe cherchée ; l’ordonnée correspondante, dans toutes les autres courbes dont il vient d’être question, pourra être représentée par la formule générale
dans laquelle représente une fonction de tout-à-fait arbitraire, continue ou discontinue, et où est un nombre abstrait, positif ou négatif, si petit qu’on le voudra, sans pourtant être absolument nul. Il est évident, en effet, que, même en se donnant à volonté, on pourra encore profiter de l’indétermination de la fonction de manière que cette formule devienne l’ordonnée de telle courbe donnée qu’on voudra, et qu’ensuite on pourra diminuer graduellement le nombre de telle sorte que cette courbe devienne si peu différente de la courbe cherchée qu’on voudra. D’où l’on voit que, si l’on traçait à la main une courbe aussi voisine de la courbe cherchée qu’on le voudrait, on pourrait toujours considérer comme exprimant l’ordonnée de cette courbe ; en sorte qu’en supposant arbitraire et d’une petitesse illimitée, la formule exprime l’ordonnée de la totalité des courbes que nous devons comparer à la courbe cherchée.
5, Remarquons pourtant, avant d’aller plus loin, qu’il se pourrait, en vertu de certaines conditions de la question, que la fonction ne dût point être tout-à-fait arbitraire, ou du moins ne dût l’être que sous certaines restrictions : c’est, par exemple, ce qui arriverait si la courbe cherchée devait passer par deux points
