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QUESTIONS

avec cette droite, ce qui est impossible, puisqu’alors ses tangentes ne pourraient être perpendiculaires à la direction $\mathrm {ON} .$

On ne peut donc résoudre le problème qu’en faisant tour-à-tour abstraction de chacune des deux conditions ; et c’est aussi ce que nous allons faire successivement ; nous montrerons ensuite que les deux courbes obtenues sont essentiellement différentes.

I. Nous venons de voir qu’en exigeant seulement que le cube construit sur $\mathrm {OM}$ soit le double du cube construit sur $\mathrm {ON,}$ l’angle $\mathrm {MON}$ est tout-à-fait déterminé ; l’angle $\mathrm {OMN}$ l’est donc aussi ; la question revient donc alors simplement à trouver une courbe dans laquelle les rayons vecteurs fassent un angle constant avec la tangente à leur extrémité.

Soit $a$ la tangente tabulaire de cet angle, et soit fait, suivant l’usage, ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p,$ l’angle que fait $\mathrm {OM}$ avec l’axe des $x$ étant \frac{y}{x}, nous devrons avoir

${\frac {p-{\frac {y}{x}}}{1+p{\frac {y}{x}}}}=a\quad$ou$\quad (ay-x)p+(ax+y)=0$

équation dont l’intégrale est

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=Ce^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)}.$

C’est l’équation d’une spirale logarithmique, comme l’on pouvait bien s’y attendre^[1].

Dans le cas particulier qui nous occupe, on a

1. Voyez la page 136 du VIII.^e volume du présent recueil.