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RÉSOLUES.

$a=\operatorname {Tang} .\mathrm {OMN={\frac {OM}{\sqrt {{\overline {OM}}^{2}-{\overline {ON}}^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {ON}{OM}}\right)^{2}}}}} \,;$

mais

$\mathrm {{\frac {ON}{OM}}={\sqrt[{3}]{\frac {{\overline {ON}}^{3}}{{\overline {OM}}^{3}}}}} ={\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}\,;$

donc

$a={\frac {\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {{\sqrt[{3}]{4}}-1}}}\,;$

de sorte que l’équation de la courbe sera

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=Ce^{\frac {{\sqrt {{\sqrt[{3}]{4}}-1}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)}{\sqrt[{3}]{2}}}\,;\qquad$(1)

où $C$ est une constante arbitraire.

II. Supposons, en second lieu, qu’on ne veuille avoir égard qu’à la seconde condition seulement ; il faudra qu’on ait

$\operatorname {Ang} .\mathrm {MOX} =3\operatorname {Ang} .\mathrm {NOX} \,:$

d’où

$\operatorname {Tang} .\mathrm {MOX} ={\frac {3\operatorname {Tang} .\mathrm {NOX} -\operatorname {Tang} .^{3}\mathrm {NOX} }{1-3\operatorname {Tang} .^{2}\mathrm {NOX} }}\,;$

mais on a,

$\operatorname {Tang} .\mathrm {MOX} ={\frac {y}{x}},\qquad \operatorname {Tang} .\mathrm {NOX} =-{\frac {1}{p}}\,;$

donc