LEMME III. De toutes les pyramides triangulaires qui ont pour base commune un même trapèze et dans lesquelles le sommet se trouve situé sur une même parallèle aux côtés parallèles de cette base ; celle dans laquelle la somme des aires des faces latérales qui ont pour base les deux côtés non parallèles de ce trapèze est la moindre possible, est celle dans laquelle les plans de ces deux faces sont également inclinés sur le plan du trapèze.
Démonstration. Soient et (fig. 13) les deux côtés parallèles d’un trapèze, base commune d’une suite de pyramides quadrangulaires de même hauteur, ayant toutes leurs sommets sur une même parallèle à ces deux droites, parallèle dont nous supposerons que la projection sur le plan de la base de la pyramide soit coupant en et respectivement les deux côtés non parallèles et de cette base.
Des deux extrémités et de l’un des côtés parallèles du trapèze soient abaissées les perpendiculaires et sur la direction du côté opposé Soient prolongés les côtés et au-delà de et en et de telle sorte que et soient égales à la hauteur commune de toutes nos pyramides. Des points et élevons des perpendiculaires sur et terminées en et à leur rencontre avec les perpendiculaires élevées à en et enfin menons la droite
Considérons présentement une de nos pyramides, dont le sommet se projette au point de menons, par ce point la droite perpendiculaire commune aux deux côtés parallèles du trapèze, et conséquemment égale à et Menons les droites et et abaissons sur les directions de et les perpendiculaires et
Si l’on joint le sommet de la pyramide au point par une droite, cette droite sera évidemment la hauteur de la face latérale dont est la base ; cette hauteur sera donc l’hypothénuse d’un triangle rectangle ayant pour l’un des côtés de l’angle droit et pour l’autre la hauteur de la pyramide, c’est-à-dire, une
