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DU CERCLE ET DE LA SPHÈRE.

longueur égale à $\mathrm {CE} \,;$ de sorte que la hauteur de cette face triangulaire aura pour expression

${\sqrt {\mathrm {{\overline {GH}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}} }}\,;$

or, les trois triangles rectangles semblables $\mathrm {BDA,CEF}$ et $\mathrm {GHC}$ donnent

$\mathrm {AB:BD\ ou\ KL::} \left\{{\begin{aligned}&\mathrm {GC:GH={\frac {KL}{AB}}.GC} ,\\\\&\mathrm {CF:CE={\frac {KL}{AB}}.CF} \,;\end{aligned}}\right\}$

donc

$\mathrm {{\overline {GH}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}=\left({\frac {KL}{AB}}\right)^{2}.\left({\overline {GC}}^{2}+{\overline {CF}}^{2}\right)=\left({\frac {KL.FG}{AB}}\right)^{2}} \,;$

au moyen de quoi la hauteur de la face latérale dont la base est $\mathrm {AB}$ se trouvera simplement exprimée par

$\mathrm {\frac {KL.FG}{AB}} \,;$

et par conséquent l’aire de cette face aura pour expression

$\mathrm {\frac {KL.FG}{2}} .$

Or, comme les circonstances sont absolument les mêmes de part et d’autre de la droite $\mathrm {KL,}$ il s’ensuit que l’aire de la face latérale dont la base est $\mathrm {A'B'}$ devra avoir pour expression

$\mathrm {\frac {KL.F'G}{2}} \,;$

la somme des aires des deux faces latérales ayant pour bases $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {A'B'}$ aura donc pour expression

$\mathrm {{\frac {KL.FG}{2}}+{\frac {KL.F'G}{2}}} \quad$ou$\quad \mathrm {{\frac {KL}{2}}.(FG+F'G)} \,;$

à cause du facteur constant $\mathrm {\frac {KL}{2}} ,$ il sera nécessaire et il suffira, pour que cette somme soit la moindre possible, que la somme $\mathrm {GF+GF'}$ le soit elle-même, ce qui exigera (Lemme I ) que