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DU CHIEN.
Si l’on veut compter les arcs depuis le point que nous avons considéré comme point de départ du chien, on devra avoir à la fois
et
ce qui donnera
![{\displaystyle B={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n-1}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8caeb387b1c6e6b005535a207d1f488469bd9e8b)
puis en retranchant
![{\displaystyle 2{\frac {s}{a}}={\frac {1}{n+1}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}-1\right\}-{\frac {1}{n-1}}\left\{\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}-1\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f51f648e19d8d5a0ee9ada79e8a3a31c9bdd99)
(10)
D’après les formules (6 et 9), on aura
![{\displaystyle r={\frac {a}{4n}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2n+1}{2}}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{\frac {2n-1}{2}}\right\}^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7b49af8a31c83515e91f62bf2f50a19763c2f5)
(11)
d’où on tirera
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} x}}={\frac {1}{2n}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2n+1}{2}}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{\frac {2n-1}{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753c794adffd8fe10b99126d848684410da03909)
![{\displaystyle \times \left\{{\frac {2n+1}{2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2n-1}{2}}-{\frac {2n-1}{2}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{\frac {2n+1}{2}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63500ff7358e8accd4caf673031ad2176c5ba2d)
le rayon de courbure maximum ou minimum répondra donc au point pour lequel on aura l’une ou l’autre des deux équations
![{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2n+1}{2}}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{\frac {2n-1}{2}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7110aa513758635c65f6ae05830e48a5fd0fb93)
![{\displaystyle {\frac {2n+1}{2}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2n-1}{2}}-{\frac {2n-1}{2}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{\frac {2n+1}{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c261f161967be36e31de3466ba3f1e116886dcba)
La première, qui revient à