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PROBLÈME
![{\displaystyle 1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6bfff42ad03cc5dc0bb237584fa7e07fbaf324)
donne
![{\displaystyle x=a{\sqrt[{2n}]{-1}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e0fcf0addf49da5673d8f82d2838450984a054)
(12)
valeur qui ne sera réelle qu’autant que
sera une fonction ayant un dénominateur pair, et qui sera alors égale à
La seconde donne
![{\displaystyle x=a{\sqrt[{2n}]{\frac {2n-1}{2n+1}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92e69580bf475eecf1fa155132a5428957225a6)
(13)
valeur qui sera toujours réelle, lorsqu’on aura
mais qui, dans le cas de
ne sera réelle qu’autant que
sera une fraction ayant un dénominateur pair. Quant au rayon de courbure au point de départ du chien ou
il sera ![{\displaystyle {\frac {a}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372a0f7fe103a760087622bb16f158d8581bb23b)
Passons enfin à la recherche de l’équation de la courbe. En remettant pour
sa valeur
dans la formule (8), on a
![{\displaystyle y+C={\frac {1}{2}}\int \left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}\operatorname {d} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5b0aa92c56ceacbd80a4c19c691ce6ae93de10)
c’est-à-dire
![{\displaystyle y+C={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n+1}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}+{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402039c8435cf6393f6effc5b4868d23e07ffa41)
En se rappelant qu’à
doit répondre
on aura
![{\displaystyle C={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n-1}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13390e87fd52666e1f67005c9fa0df3bf42bd8ec)
d’où, en retranchant