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INTÉGRALES
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)=0,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)=0,\ldots \\\\&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'={\frac {y''}{\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'=0,\ldots \\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''=0,\ldots \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f5256dbcc5a2da8575471901fe0f1da68d8173)
en conséquence, l’équation (III) deviendra
![{\displaystyle {\frac {y''}{\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3db126db1bfbfffb665e228ef45523abdb9607d)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}={\frac {1}{0}}=\infty \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46606bfded4edc6fd1e5e8451ef9b543441a120e)
le rayon de courbure de la ligne cherchée est donc infini ; cette ligne est donc une droite ; et l’on peut prendre pour son équation
![{\displaystyle y=Mx+G,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee23fc7a44d0cf401efc01db1d9f0f3e5619ffc)
d’où
![{\displaystyle \quad y'=M,\ y''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db6958b082da098838ebd2e415325e275817186)
et
étant des constantes arbitraires.
L’équation aux limites sera ici
![{\displaystyle {\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}}}}\left(Y_{1}-Y_{0}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59da8d9441539df96e7d1dc6243d92ef2f1b682)
d’où l’on voit d’abord que la constante
qui n’entre pas dans cette équation, demeurera tout-à-fait arbitraire ; ce qui revient à dire que les parties de parallèles interceptées entre d’autres parallèles sont de même longueur.
Les coefficiens de
et
étant les mêmes, au signe près, on ne saurait établir des conditions distinctes pour l’une et pour l’autre limites ; ce qui revient à dire qu’une droite qui coupe des parallèles fait avec elles des angles égaux.
Si aucune condition n’est prescrite pour l’une et l’autre limites
et
devront demeurer tout-à-fait indépendans ; on ne pourra