donc poser l’équation aux limites ne pourra donc subsister qu’autant qu’on aura de sorte que l’équation de notre droite se réduira simplement à où demeurera indéterminé. Cela revient à dire que toutes les perpendiculaires entre deux parallèles sont égales et en mesurent la plus courte distance.
Supposons qu’on exige qu’aux deux limites de l’intégrale on ait respectivement
ce qui revient à faire passer la ligne cherchée par les deux points les équations analogues à (IX) seront
et les équations analogues à (X)
ce qui vérifie l’équation aux limites ; les deux autres équations donnent et qui, substituées dans l’équation générale de la ligne cherchée, la font devenir
ce qui revient à dire que le plus court chemin entre deux points donnés est la droite qui joint ces deux points.
Mais, si l’on demandait le plus court chemin d’un point à une courbe ou d’une courbe à une autre, nos méthodes actuelles ne seraient pas suffisantes pour résoudre ces sortes de problèmes ; attendu que les limites et que nous avons essentiellement supposées constantes, devraient réellement varier dans ce cas, pour toutes les courbes que nous sommes obligés de considérer concurremment avec la ligne cherchée. Nous verrons plus loin comment on peut parer à cet inconvénient.
