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QUESTIONS

minée ci-dessus, nous aurons pour la surface totale engendrée par la ligne $\mathrm {VXA,}$

$\varpi a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha +\varpi \operatorname {Sin} .\alpha \left\{2\operatorname {Sin} .\alpha (1-\operatorname {Cos} .t)-\operatorname {Sin} .^{2}t\right\}{\frac {x^{2}}{\operatorname {Sin} .^{2}t}}\,;$

en y introduisant donc pour ${\frac {x}{\operatorname {Sin} .t}}$ la valeur trouvée ci-dessus, elle deviendra

$\varpi a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha +{\frac {\varpi b^{2}\left\{2\operatorname {Sin} .\alpha (1-\operatorname {Cos} .t)-\operatorname {Sin} .^{2}t\right\}}{\sqrt[{3}]{\left\{2\operatorname {Sin} .\alpha (1-\operatorname {Cos} .t)-\operatorname {Sin} .^{2}t\operatorname {Sin} .(t+\alpha )\right\}^{2}}}}\,;$

telle est donc la quantité qui doit être minimum ; ce qui se réduit à rendre telle la quantité

${\frac {2\operatorname {Sin} .\alpha (1-\operatorname {Cos} .t)-\operatorname {Sin} .^{2}t}{\left\{2\operatorname {Sin} .\alpha (1-\operatorname {Cos} .t)-\operatorname {Sin} .^{2}t\operatorname {Sin} .(t+\alpha )\right\}^{\frac {2}{3}}}}\,;$

égalant donc sa différentielle à zéro, il viendra, toutes réductions faites,

$(1-\operatorname {Cos} .t)^{2}\left\{1-\operatorname {Sin} .(t+\alpha )\right\}.$

L’égalité du premier facteur à zéro donne $t=0$ qui, pour des raisons tout-à-fait analogues à celles que nous avons données ci-dessus, ne saurait convenir au minimum ; c’est donc le second qu’il faut égaler à zéro pour l’obtenir ; il faut donc encore ici que l’angle $t$ soit supplément de l’angle $\alpha$ ; la calotte sphértquie qui, avec la zone conique, doit composer la surface résolvant le problème doit donc être tangente à cette zone suivant la circonférence par laquelle elle s’unit à elle ; la surface qui résout le problème est donc encore ici aussi peu discontinue qu’elle puisse l’être.

D’après ce résultat, on trouvera

$x={\sqrt[{3}]{\frac {\left(a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha -4r^{3}\right)\operatorname {Cos} .\alpha }{(1-\operatorname {Sin} .\alpha )^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha }}}\,;$

et la surface minimum aura pour expression

$\varpi \left\{a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha +{\sqrt[{3}]{\frac {\left(a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Cos} .\alpha -4r^{3}\right)^{2}(1-\operatorname {Sin} .\alpha )^{2}}{\operatorname {Sin} .\alpha }}}\right\}\,;$