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INTÉGRALES

en conséquence, l’équation différentielle de la courbe cherchée sera

$A-{\frac {y''}{\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\quad$ou$\quad {\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}={\frac {1}{A}}\,;$

son rayon de courbure doit donc être constant ; cette courbe est donc un arc de cercle.

En conséquence, nous pourrons prendre pour intégrale de l’équation ci-dessus

$(x-G)^{2}+(y-H)^{2}=R^{2}\,;$

où, des trois constantes $G,H,R,$ deux sont censées introduites par l’intégration, tandis que la troisième remplace la constante $A,$ et doit être déterminée par la condition $\int y\operatorname {d} x=c^{2}.$ On tire d’ailleurs de cette équation

$y=H\pm {\sqrt {R^{2}-(x-G)^{2}}},\quad y'=\mp {\frac {x-G}{\sqrt {R^{2}-(x-G)^{2}}}},\quad y''=\mp {\frac {R^{2}}{\left[R^{2}-(x-G)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.$

Quant à l’équation aux limites, on trouvera qu’elle est, dans le cas actuel

${\frac {a_{1}-G}{R}}Y_{1}-{\frac {a_{0}-G}{R}}Y_{0}=0.$

Si donc aucune condition particulière n’a été imposée pour les limites, $Y_{0}$ et $Y_{1}$ devant demeurer absolument indépendans, cette équation ne pourra être satisfaite qu’autant qu’on aura, à la fois,

${\frac {a_{0}-G}{R}}=0,\qquad {\frac {a_{1}-G}{R}}=0\,;$

équations qui ne pourront subsister ensemble qu’autant qu’on aura $R$ infini ; ce qui réduit la ligne cherchée à une ligne droite, comme