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INDÉTERMINÉES.

avec cette seule différence que l’équation cherchée en $x$ et $y,$ outre les constantes introduites par l’intégration, renfermera aussi les constantes $A,B,C,\ldots \,;$ mais on aura, pour en assigner les valeurs, les équations de condition (XI) qui sont précisément en même nombre. Donnons un exemple des questions de ce genre.

16. PROBLÈME II. Entre toutes les courbes qui retranchent une même portion déterminée de l’espace indéfini compris entre deux parallèles et une perpendiculaire qui leur est commune, quelle est celle dont l’arc intercepté entre ces parallèles à la moindre longueur ?

Solution. Soit prise pour axe des $x$ la perpendiculaire commune aux deux parallèles, dont nous supposerons, comme ci-dessus, que les équations sont

$x=a_{0},\qquad x=a_{1}.$

Soit $c^{2}$ l’aire qui doit être comprise entre la courbe cherchée, les deux parallèles et l’axe des $x\,;$ on devra avoir ainsi, entre $a_{0}$ et $a_{1},$

$\int y\operatorname {d} x=c^{2}\,;$

de plus, entre les mêmes limites, $\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+y'^{2}}}$ devra toujours, comme ci-dessus, être un minimum. Il ne s’agira donc (15) que de rendre telle, entre $a_{0}$ et $a_{1},$ l’intégrale

$\int \left({\sqrt {1+y'^{2}}}+Ay\right)\operatorname {d} x,$

sauf ensuite à déterminer convenablement la constante $A.$

Nous aurons donc ici $V={\sqrt {1+y'^{2}}}+Ay,$ d’où

${\begin{array}{lll}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)=A,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)=0,\ldots \\\\&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'={\frac {y''}{\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'=0,\ldots \\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''=0,\ldots \end{array}}$