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PUISSANCES DES COSINUS.
ANALISE TRANSCENDANTE.
Solution d’une difficulté connue que présente la théorie
des fonctions angulaires, relativement au développement
des puissances fractionnaires des cosinus ;
Par
M. Crelle, docteur en philosophie, membre
du conseil supérieur des bâtimens civils de Prusse.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1.
On a
![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .x=\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75a3baa5ea17ad72a299c6c7a7fa93d3e56230c)
mais
![{\displaystyle \left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d899c5447b103895a1acaec0e3a3af9f6198a8a)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x={\frac {1}{\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accfc8f6d75c95c0f23b2ce8f52659c0da0837a5)
donc
![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x+{\frac {1}{\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3264dba58666a7b9bfc7bcd28beaaf8592f3aa16)
Si donc, pour abréger, on pose
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b66f8212c9c2a51fe431aa4918710f16fbb2316)
on aura