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PUISSANCES

$2\operatorname {Cos} .x=u+{\frac {1}{u}}\,;$

cela donne

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\left(u+{\frac {1}{u}}\right)^{m}=u^{m}+{\frac {m}{1}}u^{m-2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}u^{m-4}$

$+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}u^{m-6}+\ldots$

ou bien

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\left({\frac {1}{u}}+u\right)^{m}=u^{-m}+{\frac {m}{1}}u^{-m+2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}u^{-m+4}$

$+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}u^{-m+6}+\ldots$

Ces deux développemens ont évidemment lieu pour une valeur quelconque de $m.$

Mais on a, comme l’on sait, aussi pour une valeur quelconque de $m,$

$\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,$

ce qui donne successivement

${\begin{array}{ll}u^{m}&=\operatorname {Cos} .mx+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,\\u^{-m}&=\operatorname {Cos} .mx-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx,\\\end{array}}$

${\begin{array}{ll}u^{m-2}&=\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x,\\u^{-m+2}&=\operatorname {Cos} .(m-2)x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x,\\u^{m-4}&=\operatorname {Cos} .(m-4)x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)x,\\u^{-m+4}&=\operatorname {Cos} .(m-4)x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)x,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{array}}$

ce qui donne, en substituant,